Question

下面讓我們來(lái)探究有關(guān)材料的利用率問(wèn)題：工人師傅要充分利用一塊邊長(zhǎng)為100cm的正三角形簿鐵皮材料（如圖1）來(lái)制作一個(gè)圓錐體模型（制作時(shí)接頭部分所用材料不考慮）．
（1）求這塊三角形鐵皮的面積（結(jié)果精確到0.01cm²）；
（2）假如要制作的圓錐是一個(gè)無(wú)底面的模型，且使三角形鐵皮的利用率最高，請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出裁剪方案的草圖，并計(jì)算出鐵皮的利用率（精確到1%）；
（3）假如要用這塊鐵皮裁一塊完整的圓形和一塊完整的扇形，使之配套，恰好做成一個(gè)封閉圓錐模型，且使鐵皮得到充分利用，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種裁剪方案，在圖3中畫(huà)出草圖，并計(jì)算出鐵皮的利用率（精確到1%）．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作等邊三角形的高，根據(jù)∠C=60°，求得高的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求得面積．
（2）如圖：當(dāng)扇形與BC邊相切時(shí)，三角形鐵皮的利用率最高，根據(jù)扇形的面積S=

nπR2

360

求得面積．
（3）如圖，扇形與⊙O相切于點(diǎn)E，⊙O與等邊三角形的兩邊也相切，使得⊙O的周長(zhǎng)與扇形的弧相等時(shí)，便能作成一個(gè)封閉圓錐模型．也可以使扇形與⊙O相切于等邊三角形的高上，⊙O與等邊三角形的邊相切，也使得⊙O的周長(zhǎng)與扇形的弧相等．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD=

1

2

BC=50，（2分）
根據(jù)勾股定理得：AD=

1002-502

=50

3

，（3分）
∴S_△ABC=

1

2

×100×50

3

=2500

3

≈4330．（4分）

（2）如圖：當(dāng)扇形與BC邊相切時(shí)，三角形鐵皮的利用率最高．（6分）
S=

60

360

×π×(50

3

)2
=

1

6

×π×7500
=1250π≈3925
∴利用率≈

3925

4330

×100%≈91%．
（8分）


（3）方案1：
如圖，扇形與⊙O相切于點(diǎn)E，⊙O與BC相切于點(diǎn)E，
則A，E，O，D在同一直線上，且AE⊥BC．（9分）
設(shè)扇形半徑為x，⊙O半徑為y，
則有x+2y=50

3

60πx

180

=2πy（10分）
y=

25

4

3

≈54.13
x=

75

2

3

≈65.0
∴利用率≈60%．（13分）

方案2：
如圖，⊙O與半圓⊙D相切于點(diǎn)E，⊙O與AB，AC相切于點(diǎn)F，G，
連接OF，則OF⊥AB，設(shè)⊙D的半徑為x，設(shè)⊙O的半徑為y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）
3y+x=50

3

πx=2πy（10分）（13分）
∴x=20

3

y=10

3

（12分）
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如圖，扇形與⊙O相切于點(diǎn)E，⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)F，G，
連接A0，0F，OB，
則AO過(guò)點(diǎn)E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
設(shè)⊙O的半徑為y，扇形的半徑為x，
則有OB=2y，BF=

3

y．（9分）
∵

60πx

180

=2πy，
∴x=6y，（10分）
∴AF=

(7y)2-y2

=

48

y=4

3

y．
∵AF+BF=100，
∴4

3

y+

3

y=100，
∴y=

20

3

3

x=40

3

（12分）
利用率≈68%．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式求解．