Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）

（1）AC邊上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（2）若點(diǎn)P恰好在△ABC的角平分線上，請(qǐng)求出t的值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；(2)t=2或或或

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，從而分別表示出PC、BC、BP的長(zhǎng)，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)處時(shí)就是在角平分線上，然后再分點(diǎn)P在AC和∠ABC的角平分線的交點(diǎn)處和點(diǎn)P在BC和∠BAC的角平分線的交點(diǎn)處利用相似三角形列式求得t值即可．

解：（1）如圖1，設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，

此時(shí)PA=PB=2t，PC=4-2t，

在Rt△PCB中，

PC2+CB2=PB2，

即：（4-2t）2+32=（2t）2，

解得：t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，PA=PB；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C或點(diǎn)B處時(shí)，一定在△ABC的角平分線上，

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，

∵t=4÷2=2s；

點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，

∴t=（4+3）÷2=；

當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上時(shí)，作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖2，

此時(shí)AP=2t，PC=PM=4-2t，

∵△APM∽△ABC，

∴AP：AB=PM：BC，

即：2t：5=（4-2t）：3，

解得：t=；

當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，作PN⊥AB，如圖3，

此時(shí)BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），

∵△BPN∽△BAC，

∴BP：BA=PN：AC，

即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，

解得：t=，

綜上，當(dāng)t=2s或s或s或s時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的角平分線上．