Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）若AD=4，求DP；（2）△APB是直角三角形嗎？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB；
又∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=DP=4，
即DP=4．

（2）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠ABC+∠DAB）
=×180°=90°，
∴△APB是直角三角形．
分析：（1）因為AP平分∠DAB，所以有∠DAP=∠PAB，因為CD∥AB，所以有∠DPA=∠PAB根據(jù)角之間的等量代換可知等角對等邊，DP=AD=4．
（2）平行四邊形鄰角互補，有兩條角平分線，所以鄰角的一半相加等于90°，即△APB是直角三角形．
點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．