Question

（2012•重慶模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△PQR的直角邊PQ的長均為6cm，QR=12cm，AB與QR在同一條直線l上．開始時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，讓△PQR以1cm/s速度在直線l上運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)R與點(diǎn)A重合為止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），t＞0．
（1）點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，令PR與BC交于M點(diǎn)，求PM的長度；
（2）設(shè)△PQR與正方形ABCD重疊部分的面積為Scm²，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，令線段PR與線段AD的交點(diǎn)為N（若無交點(diǎn)則不考慮），則是否存在t的值，使△NQR為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出DC∥AB，就有∠CDR=∠ARD，在Rt△PQR中，由PQ=6cm，QR=12cm有tan∠ARD=

1

2

，就可以得出MC，再根據(jù)勾股定理就可以求出PM的值；
（2）分情況求出當(dāng)當(dāng)0＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤12時(shí)，12＜t≤18時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)和梯形的面積公式三角形的面積公式就可以表示出S的解析式；
（3）根據(jù)等腰三角形的條件分三種情況進(jìn)行計(jì)算，先運(yùn)用勾股定理將三角形的三邊表示出來，由等腰三角形的邊的平方相等建立的等量關(guān)系求出其解就可以了．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，CD∥AB，∠C=90°，
∴∠CDR=∠ARD，
∵PQ=6cm，QR=12cm，
∴tan∠ARD=

1

2

，
∴tan∠CDR=

CM

CD

=

1

2

，
∵CD=6，
∴CM=3，
在Rt△CPM中，由勾股定理，得
PM=

36+9

=3

5

．

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤6時(shí)，
∵QB=t，QR=12，
∴BR=12-t，
∴BM=6-0.5t，
∴S=

(6-0.5t+6)t

2

，
∴S=-

1

4

t²+6t，

如圖2，當(dāng)6＜t≤12時(shí)，
∵AR=12-t+6=18-t，BR=12-t，
∴SA=9-0.5t，MB=6-0.5t
∴S=

6(9+0.5t+6+0.5t)

2

，
=3t+45，

如圖3，12＜t≤18時(shí)，
AR=6-（t-12）=18-t，AS=9-0.5t，
∴S=

(18-t)(9-0.5t)

2

，
=

1

4

t²-9t+81；

（3）當(dāng)6＜t≤12時(shí)，由圖象得：
QN²=AQ²+AN²=（t-6）²+（9-0.5t）²=

5

4

t²-21t+117，
NR²=AN²+AR²=（9-0.5t）²+（18-t）²=

5

4

t²-45t+405
RQ²=144
①如圖4，當(dāng)QR²=NR²時(shí)，

5

4

t²-45t+405=144，
解得：t₁=18+

24 5

5

t＞12（舍去），t₂=18-

24 5

5

；

②如圖5，當(dāng)QN²=QR²時(shí)，

5

4

t²-21t+117=144，
解得：t₁=-1.2（舍去），t₂=18（舍去），

③如圖6，當(dāng)QN²=RN²時(shí)，

5

4

t²-21t+117=

5

4

t²-45t+405，
解得：t=12，
12＜t≤18與6＜t≤12時(shí)一致，而t=18時(shí)△NQR不存在，
∴t=12或t=18-

24 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的運(yùn)用．等腰三角形的性質(zhì)及判定，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)自變量的取值范圍求解是關(guān)鍵．