Question

已知，如圖在矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個頂點E，G， H 分別在矩形ABCD的邊AB ，CD ，AD 上，AH=2 ，連接CF.
（1）當四邊形EFGH為正方形時,求DG的長；
（2）當△FCG的面積為1時,求DG的長；
（3）當△FCG的面積最小時,求DG的長.

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Answer 1

（1）證得△AHE≌△DGH  ∴DG=AH=2…………5分
（2）作FM⊥DC,M為垂足,連接GE,
∵AB‖CD,

∴∠AEG=∠MGE
∵HE‖GF,

∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中,

∠A=∠M=90°,HE=FG,

∴△AHE≌△MFG．
∴FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,

點F到直線CD的距離始終為定值2．
因此 ,解得GC=1,DG=6．…………10分
（3）設(shè)DG=x,則由第（2）小題得,S_△FCG=7-x,

又在△AHE中,AE≤AB=7,
∴≤53,∴≤53,x≤,
∴S_△FCG的最小值為 7-,此時DG=  ．………15分