Question

18．如圖，已知點(diǎn)O（0，0），A（-4，-1），線段AB與x軸平行，且AB=2，拋物線l：y=-x²+mx+n（m，n為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)C（0，3）和D（3，0）
（1）求l的解析式及其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）判斷點(diǎn)B是否在l上，并說明理由；
（3）若線段AB以每秒2個(gè)單位長的速度向下平移，設(shè)平移的時(shí)間為t（秒）．
①若l與線段AB總有公共點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍；
②若l同時(shí)以每秒3個(gè)單位長的速度向下平移，l在y軸及其右側(cè)的圖象與直線AB總有兩個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)即可；
（2）首先得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（3）①分別得出當(dāng)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，當(dāng)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求出y的值，進(jìn)而得出t的取值范圍；
②根據(jù)題意得出關(guān)于t的不等式進(jìn)而組成方程組求出答案．

解答 解：（1）把點(diǎn)C（0，3）和D（3，0）的坐標(biāo)代入y=-x²+mx+n中，
得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\-{3^2}+3m+n=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ m=2\end{array}\right.$，
∴拋物線l解析式為y=-x²+2x+3，
對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．   

（2）不在；  
∵A（-4，-1），線段AB與x軸平行，AB=2，
∴B（-2，-1），
把x=-2代入y=-x²+2x+3，得y=-5≠-1，
∴點(diǎn)B不在拋物線l上．

（3）①2≤t≤10． 
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1-2t），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-1-2t），
當(dāng)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，有y=-（-2）²+2×（-2）+3=-5，
當(dāng)拋物線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，有y=-（-4）²+2×（-4）+3=-21，
當(dāng)拋物線l與線段AB總有公共點(diǎn)時(shí)，有-21≤-1-2t≤-5，
解得：2≤t≤10．

②平移過程中，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3-3t），拋物線l的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4-3t），
如果直線AB與拋物線l在y軸及其右側(cè)的圖象總有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則有 $\left\{\begin{array}{l}-1-2t≥3-3t\\-1-2t＜4-3t\end{array}\right.$，
解得：4≤t＜5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及不等式組的解法等知識(shí)，正確利用數(shù)形結(jié)合分析得出關(guān)于t的不等式是解題關(guān)鍵．