Question

如圖，點(diǎn)P在y軸上，⊙P交x軸于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)BP并延長交⊙P于C，過點(diǎn)C的直線y=2x+b交x軸于D，且⊙P的半徑為

5

，AB=4．
（1）求點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)；
（2）求證：CD是⊙P的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)AC，由于BC是圓P的直徑，那么∠CAB=90°．解Rt△ABC，得出AC=

BC2-AB2

=2，由垂徑定理得出OB=OA=2，根據(jù)三角形中位線定理得出OP=

1

2

AC=1，從而求出點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)；
（2）將C（-2，2）代入y=2x+b，利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)C的直線解析式為y=2x+6，得到D（-3，0），AD=1．再利用SAS證明△ADC≌△OPB，得出∠DCA=∠B，然后證明∠BCD=90°，根據(jù)切線的判定定理證明CD是⊙P的切線．

解答：（1）解：連結(jié)AC．
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°．
在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，BC=2

5

，AB=4，
∴AC=

BC2-AB2

=2，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2，
∴OP=

1

2

AC=1，
∴P（0，1），B（2，0），C（-2，2）；

（2）證明：將C（-2，2）代入y=2x+b，
得-4+b=2，解得b=6
∴y=2x+6，
當(dāng)y=0時(shí)，則x=-3，
∴D（-3，0），
∴AD=1．
在△ADC和△OPB中，

AC=OB ∠CAD=∠BOP=90° DA=PO

，
∴△ADC≌△OPB（SAS），
∴∠DCA=∠B．
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，
∴CD是⊙P的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．