Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）依據(jù)拋物線的解析式直接求得C的坐標(biāo)，令y=0解方程即可求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出△BCM面積的表達(dá)式，這是一個二次函數(shù)，求出其取最大值的條件；然后利用勾股定理求出△BPN的周長；
（3）如解答圖，△CNQ為直角三角形，分三種情況：①點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)；②點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)；③點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)進(jìn)行解答．

解答：解：（1）由拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3，
∴C（0，3），
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1；
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3．
設(shè)P（x，-x+3），則M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=

1

2

PM•（x_P-x_C）+

1

2

PM•（x_B-x_P）=

1

2

PM•（x_B-x_C）=

3

2

PM．
∴S_△BCM=

3

2

（-x²+3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

．
∴當(dāng)x=

3

2

時，△BCM的面積最大．
此時P（

3

2

，

3

2

），∴PN=ON=

3

2

，
∴BN=OB-ON=3-

3

2

=

3

2

．
在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=

3 2

2

．
C_△BCN=BN+PN+PB=3+

3 2

2

．
∴當(dāng)△BCM的面積最大時，△BPN的周長為3+

3 2

2

．

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
在Rt△CNO中，OC=3，ON=

3

2

，由勾股定理得：CN=

3 5

2

．
設(shè)點(diǎn)D為CN中點(diǎn)，則D（

3

4

，

3

2

），CD=ND=

3 5

4

．
如解答圖，△CNQ為直角三角形，
①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．
作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對稱軸交于Q₁、Q₂兩點(diǎn)，由圓周角定理可知，Q₁、Q₂兩點(diǎn)符合題意．
連接Q₁D，則Q₁D=CD=ND=

3 5

4

．
過點(diǎn)D（

3

4

，

3

2

）作對稱軸的垂線，垂足為E，
則E（1，

3

2

），Q₁E=Q₂E，DE=1-

3

4

=

1

4

．
在Rt△Q₁DE中，由勾股定理得：
Q₁E=

Q1D2-DE2

=

11

2

．
∴Q₁（1，

3+ 11

2

），Q₂（1，

3- 11

2

）；
②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)．
過點(diǎn)N作NF⊥CN，交對稱軸于點(diǎn)Q₃，交y軸于點(diǎn)F．
易證Rt△NFO∽Rt△CNO，則

OF

ON

=

ON

OC

，即

OF

3 2

=

3 2

3

，解得OF=

3

4

．
∴F（0，-

3

4

），又∵N（

3

2

，0），
∴可求得直線FN的解析式為：y=

1

2

x-

3

4

．
當(dāng)x=1時，y=-

1

4

，
∴Q₃（1，-

1

4

）；
③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時．
過點(diǎn)C作Q₄C⊥CN，交對稱軸于點(diǎn)Q₄．
∵Q₄C∥FN，∴可設(shè)直線Q₄C的解析式為：y=

1

2

x+b，
∵點(diǎn)C（0，3）在該直線上，∴b=3．
∴直線Q₄C的解析式為：y=

1

2

x+3，
當(dāng)x=1時，y=

7

2

，
∴Q₄（1，

7

2

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有4個，
其坐標(biāo)分別為：Q₁（1，

3+ 11

2

），Q₂（1，

3- 11

2

），Q₃（1，-

1

4

），Q₄（1，

7

2

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，難度較大．解題過程中有若干解題技巧需要認(rèn)真掌握：
①第（2）問中求△BCM面積表達(dá)式的方法；
②第（3）問中確定點(diǎn)Q的方法；
③第（3）問中求點(diǎn)Q坐標(biāo)的方法．