Question

如圖，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的動點，Q是AD上的動點．P以1cm/s的速度從B到A，Q以2cm/s的速度從A到D，P到A（或Q到D）時停止運動．求PQ+QC最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：設(shè)t秒后PQ+QC最小，取點P關(guān)于AD的對稱點P′，連接CP′與AD相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的使PQ+QC最小的點Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根據(jù)△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：設(shè)t秒后PQ+QC最小，取點P關(guān)于AD的對稱點P′，連接CP′與AD相交，
由軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的使PQ+QC最小的點Q的位置，
∵AB=6cm，AD=12cm，
∴AP=AP′=6-t，
AQ=2t，QD=12-2t，
∵AB∥CD，
∴△AP′Q∽△DCQ，
∴

AP′

CD

=

AQ

QD

，
即

6-t

6

=

2t

12-2t

，
整理得，t²-18t+36=0，
解得t₁=9-3

5

，t₂=9+3

5

（舍去），
所以，BP′=AB+AP′=6+（6-9+3

5

）=3+3

5

，
所以，P′C=

BP′2+BC2

=

(3+3 5 )2+122

=3

22+2 5

，
即PQ+QC最小值是3

22+2 5

．

點評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，利用軸對稱確定出相似三角形并列出比例式是解題的關(guān)鍵．