Question

如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點(diǎn)與A重合，并將三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖1，使它的斜邊與BC交于點(diǎn)E，一條直角邊與CD交于點(diǎn)F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求證：△ABP∽△ACF，且相似比為1：；
（2）請(qǐng)?jiān)僭趫D1中（不再添線和加注字母）找出兩對(duì)相似比為1：的非直角三角形的相似三角形；（直接寫(xiě)出）
（3）如圖2，當(dāng)M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到BC的垂直平分線PQ上時(shí)，連接ON，若ON=8，求MQ的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵△NMA是等腰直角三角形，
∴∠NAM=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，∠ABO=∠BAO=∠ACF=45°，
∴∠ABO=∠BAO=∠NAM=∠ACF，
∴∠BAO-∠1=∠NAM-∠1，
∴∠3=∠2，
∴△ABP∽△ACF，
∵，
∴△ABP∽△ACF，且相似比為1：，


（2）解：由相似三角形的判定方法得：△AQD∽△AEC；△APQ∽△AFE．

（3）解：作NG⊥PQ于點(diǎn)G，
∴∠MGQ=90°，
∴∠GNM+∠NMG=90°，
∵∠NMA=90°，
∴∠NMG+∠AMQ=90°，
∴∠GNM=∠AMQ，
∵M(jìn)Q是BC的中垂線，
∴∠AQM=90°，
∴∠AQM=∠NGM，
∵AM=NM，
∴△NGM≌△MQA，
∴NG=MQ，MG=AQ，
∵AQ=QO，
∴QO=MG，
∴MO+QO=MO+MG，
即MQ=GO，
∴NG=GO，由勾股定理得，GO=4，
∴MQ=4．
分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，可以求出∠BAC=∠ABD=45°，．由已知知道∠MAN=45°，再證明∠3=∠2就可以證明兩三角形相似．得到結(jié)論．
（2）利用相似三角形的判定方法，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可以找到結(jié)論．
（3）作NG⊥PQ于點(diǎn)G，可以證明三角形全等，得到NG=OG=MQ，在Rt△NGO中利用勾股定理求出NG的長(zhǎng)，從而求出其解，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．