Question

已知，如圖，在正方形ABCD中，P、Q對(duì)分別為BC、CD上的點(diǎn)． (1) 若∠PAQ＝，求證：PB＋DQ＝PQ． (2) 若△PCQ的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)之半，求證：∠PAQ＝．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

證明：延長(zhǎng)CB到E，使BE＝DQ，連AE， 　　∵ABCD是正方形． 　　∴可得AB＝AQ，∠ABE＝∠AQD＝ 　　∴AE＝AQ，∠1＝∠2，由∠PAQ＝，知∠2＋∠3＝ 　　∴∠1＋∠3＝ 　　在△AEP與△AQP中 　　∴△AEP≌△AQP(SAS) 　　∴PE＝PQ 　　而PE＝PB＋BE，BE＝DQ 　　∴PB＋DQ＝QP

(2)

∵△PCQ的周長(zhǎng)＝PQ＋QC＋CP，而正方形ABCD的周長(zhǎng)＝2(DC＋BC) 　　∴PQ＋QC＋CP＝DC＋BC 　　又DC＝DQ十QC，BC＝BP＋PC 　　∴PQ＝DQ＋BP 　　延長(zhǎng)CB交E，使BE＝DQ，連AE則PQ＝PE，AQ＝AE，∠1＝∠2 　　在△APQ與△APE中 　　∴△APQ≌△APE(SSS) 　　∴∠EAP＝∠QAP 　　∵∠2＋∠3＋∠PAQ＝ 　　∴∠1＋∠3＋∠PAQ＝ 　　∴∠PAQ＝ 　　解析：本題要證的兩個(gè)小題，實(shí)質(zhì)是互逆的兩個(gè)命題，根據(jù)已知條件，可運(yùn)用構(gòu)造全等三角形的方法來(lái)證明結(jié)論．從幾何變換的角度來(lái)講，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)△ADQ是△ABE，從而把BP＋OQ轉(zhuǎn)化為PE，這種旋轉(zhuǎn)變換的思想，在正方形的有關(guān)問(wèn)題中常用，希望能引起同學(xué)們的注意．