Question

3．在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，如圖所示滿足AO=BO，BC⊥AD，D（1，0）．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M、N分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接OM，ON，判斷OM，ON的關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，連AM，BN，取BN的中點(diǎn)P，連OP．當(dāng)C、D分別以相同的速度沿著y軸、x軸向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求證：∠MAC+∠POA為定值．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△OBC≌△OAD，得出對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)果；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BC=AD，∠OBC=∠OAN，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OM=$\frac{1}{2}$BC=BM，ON=$\frac{1}{2}$AD=AN，即可得出結(jié)論；
（3）在x軸上截取OF=OB=OA，連接FN，由（2）得：OM=BM，ON=AN，得出∠MOB=∠MBO，∠NAO=∠NOA，因此∠MOB=∠NOA，證出∠MON=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠MAC=∠NFO，證明OP是△BFN的中位線，由三角形中位線定理得出OP∥FN，由平行線的性質(zhì)得出∠NFO=∠POB，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵BC⊥AD，D（1，0），
∴∠OBC+∠ADO=90°，OD=1，
∵∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OBC=∠OAD，
在△OBC和△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠AOD}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\\{∠OBC=∠OAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OAD（ASA），
∴OC=OD=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；
（2）解：OM=ON；理由如下：
由（1）得：△OBC≌△OAD，
∴BC=AD，∠OBC=∠OAN，
∵∠BOC=∠AOD=90°，點(diǎn)M、N分別是BC，AD的中點(diǎn)，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=BM，ON=$\frac{1}{2}$AD=AN，
∴OM=ON；
（3）證明：在x軸上截取OF=OB=OA，連接FN，如圖所示：
由（2）得：OM=BM，ON=AN，
∴∠MOB=∠MBO，∠NAO=∠NOA，
∴∠MOB=∠NOA，
∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AOM+∠NOA=90°，
即∠MON=90°，
把△AOM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△FON重合，
∴∠MAC=∠NFO，
∵P是BN的中點(diǎn)，OF=OB，
∴OP是△BFN的中位線，
∴OP∥FN，
∴∠NFO=∠POB，
∴∠MAC=∠POB，
∵∠POB+∠POA=90°，
∴∠MAC+∠POA=90°；
即∠MAC+∠POA為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要通過(guò)作輔助線運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形中位線定理才能得出結(jié)論．