Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為A（0，α），B（b，α），且α、b滿足（a-2）²+|b-4|=0，現(xiàn)同時將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABCD}
（2）在y軸上是否存在一點M，連接MC，MD，使S_△MCD=S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．
（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PA，PO，當(dāng)點P在BD上移動時（不與B，D重合）

∠BAP+∠DOP

∠APO

的值是否發(fā)生變化，并說明理由．

Answer 1

考點：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形的面積,坐標(biāo)與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）先由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a=2，b=4，再根據(jù)平移規(guī)律，得出點C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形ABDC的面積=AB×OA即可求解；
（2）存在．設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，列出方程求出m的值，即可確定M點坐標(biāo)；
（3）過P點作PE∥AB交OC與E點，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值為1．

解答：解：（1）∵（a-2）²+|b-4|=0，
∴a=2，b=4，
∴A（0，2），B（4，2）．
∵將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，
∴C（-1，0），D（3，0）．
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OA=4×2=8；

 （2）在y軸上存在一點M，使S_△MCD=S_{四邊形ABCD}．設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）．
∵S_△MCD=S_{四邊形ABDC}，
∴

1

2

×4|m|=8，
∴2|m|=8，
解得m=±4．
∴M（0，4）或（0，-4）；

（3）當(dāng)點P在BD上移動時，

∠BAP+∠DOP

∠APO

=1不變，理由如下：
過點P作PE∥AB交OA于E．
∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，
∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，
∴

∠BAP+∠DOP

∠APO

=1．

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，坐標(biāo)與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角形、平行四邊形的面積公式．關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．