Question

6．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，點(diǎn)P從B出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿射線BO運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．△APC是以AP為斜邊的等腰直角三角形，且C，O兩點(diǎn)在直線AB的同側(cè)，連接OC．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求$\frac{AC}{AO}$的值；
（2）求證：△APB∽△ACO；
（3）設(shè)△POC的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t=1求出BP、OP，根據(jù)勾股定理求出AP，根據(jù)余弦的定義求出AC，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AP}{AC}$=$\sqrt{2}$和∠BAO=∠PAC=45°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；
（3）分0＜t＜4、t=4和t＞4三種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正弦的定義以及三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，OP=3，OA=4，
在Rt△AOP中，AP=$\sqrt{O{P}^{2}+O{A}^{2}}$=5，
∵△ACP為等腰三角形，
∴AC=AP•cos45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$；
（2）證明：∵△AOB，△ACP都是等腰三角形，
∴$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AP}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠BAO=∠PAC=45°，
∴∠BAP=∠OAC，
∴△APB∽△ACO；
（3）①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，
∵△APB∽△ACO，
∴$\frac{BP}{OC}$=$\frac{AB}{AO}$=$\sqrt{2}$，∠AOC=∠ABP=45°，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
作CM⊥BO，垂足為M，
則CM=OC•sin45°=$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×OP×CM=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}$t²+t；
②當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，△POC不存在；
③當(dāng)t＞4時(shí)，BP=t，則OP=t-4．
由①得，S=$\frac{1}{2}$×=$\frac{1}{2}$×（t-4）×$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}$t²-t；
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}+t（0＜t＜4）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-t（t＞4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義以及等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．