Question

如圖，直線(xiàn)y=與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，以AC為直徑作⊙M，點(diǎn)是劣弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合）．拋物線(xiàn)y=－經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，與x軸交于另一點(diǎn)B，

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）連交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線(xiàn)與⊙M相切，并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）  B(1，0)
（2）P(-1,)
（3）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AG與⊙M相切．證明見(jiàn)解析

解析試題分析：（1）先求出A、C點(diǎn)坐標(biāo)，再代入y=－即可求出b、c的值，從而確定拋物線(xiàn)的解析式，由于點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，從而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).
（2）連接BC并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是點(diǎn)P.
（3）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AG與⊙M相切．
試題解析：（1）解：由 得A（-3，0），C（0， ）
將其代入拋物線(xiàn)解析式得： 解得：
∴
∵對(duì)稱(chēng)軸是x=-1
∴由對(duì)稱(chēng)性得B(1，0)
（2）解：延長(zhǎng)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P
由B(1，0)，C（0，）求得直線(xiàn)BC解析式為： 
當(dāng)x=-1時(shí)，y= 
∴P(-1, )
（3）結(jié)論：當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)AG與⊙M相切．
證明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，
∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，
∵點(diǎn)D是劣弧AO的中點(diǎn)，
∴弧AD=弧OD
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG為等邊三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG為⊙M的切線(xiàn)．
考點(diǎn): 1. 二次函數(shù)綜合題；2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.