Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（4，5）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)勾股定理可求出AB的長，進(jìn)而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），在分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，得

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB=

AC2+BC2

=5

2

．
如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°=1×

2

2

=

2

2

，
∴BH=AB-AH=5

2

-

2

2

=

9 2

2

，
在Rt△BOH中，tan∠ABO=

OH

BH

=

2

2

×

2

9 2

=

1

9

．

（3）直線AB的解析式為：y=x+1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，
得x=

3+3 5

2

或x=

3-3 5

2

．
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）
=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，
得x=

3+ 5

2

或x=

3- 5

2

．
所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)，
其橫坐標(biāo)分別為：

3+3 5

2

，

3-3 5

2

，

3+ 5

2

，

3- 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程以及拋物線的性質(zhì)以及最值的求解方法．解答（3）題時(shí)要分類討論．