Question

東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價12元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低0.10元（例如．某人買20只計算器，于是每只降價0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只．
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）一位顧客一次購買了若干只計算器，專賣店共獲利潤180元，請你求該顧客所購買的計算器的數(shù)量．
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？
以下是小麗在探索該問題時所列的計算器數(shù)量與利潤關系表格的一部分，請你根據(jù)表格繼續(xù)探索…

X只		40	41	42	43	44	45	46	47	48	19	50
利潤（元）		200	200.9	201.6	202.1	202.4	202.5	202.4	202.1	201.6	200.9	200

Answer 1

解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
∴一次至少要購買50只；

（2）當0≤x≤10時，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；
當x＞50時，y=（20-16）x，即y=4x，
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
∴該顧客此次所購買的數(shù)量是30只；

（3）當10＜x≤50時，y=-0.1x²+9x，
當時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元），
當45＜x≤50時，y隨著x的增大而減小，
∴最低價至少要提高到16.5元/只．
分析：（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）因為設了最低價，所以超過一定數(shù)量也按最低價銷售，不再打折，所以需分類討論；
（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解釋現(xiàn)象，進一步解決問題．
點評：此題主要考查了函數(shù)的綜合應用，根據(jù)函數(shù)的對稱性討論最大值問題，需考慮自變量的取值范圍．