Question

9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P，Q在拋物線上（P點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐標(biāo)；
（3）動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+4上，且△ABC與△COM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，根據(jù)PQ的長(zhǎng)，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得CM的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得MH的長(zhǎng)，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即C（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，x+4=0，解得x=-4，即A（-4，0），
將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+4=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}{x^2}$-x+4；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，
PQ=8，-1-4=-5，
當(dāng)x=-5時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×（-5）²-（-5）+4=-$\frac{7}{2}$，即P（-5，-$\frac{7}{2}$）；
-1+4=3，即Q（3，-$\frac{7}{2}$）；
P點(diǎn)坐標(biāo)（-5，-$\frac{7}{2}$），Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，-$\frac{7}{2}$）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①當(dāng)△MCO∽△CAB時(shí)，$\frac{OC}{BA}$=$\frac{CM}{AC}$，即$\frac{4}{6}$=$\frac{CM}{4\sqrt{2}}$，
CM=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
如圖1，
過(guò)M作MH⊥y軸于H，MH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)x=-$\frac{8}{3}$時(shí)，y=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$，
∴M（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
當(dāng)△OCM∽△CAB時(shí)，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{CM}{AB}$，即$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{CM}{6}$，解得CM=3$\sqrt{2}$，
如圖2，
過(guò)M作MH⊥y軸于H，MH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-3+4=1，
∴M（-3，1），
綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出P、Q關(guān)于直線x=-1對(duì)稱是解題關(guān)鍵；利用兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形得出CM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．