Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，分別以，為邊作矩形，直線交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）求直線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖2，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為直線上兩動(dòng)點(diǎn)（在上，在下），滿足，當(dāng)最大時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）如圖3，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為，線段所在的直線交直線于點(diǎn)（不與、重合），交軸于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以四點(diǎn)形成的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說出理由．

Answer 1

【答案】（1），H(,)；（2）；（3）存在，Q(,)

【解析】

（1）如圖1中，作HK⊥OA于K．求出A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，解直角三角形求出HK，KO即可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

（2）由題意|PC-PB|≤BC，推出當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，|PC-PB|的值最大，此時(shí)P′（3，），作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此時(shí)，作G關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M，連接DM交AC于E，GM交AC于，此時(shí)P′F+EF+DE的值最小．求出直線DM，AC的解析式，構(gòu)建方程組即可解決問題．

（3）如圖3中，當(dāng)NC=NM時(shí)，可得菱形MNCQ．解直角三角形求出ON，求出菱形的邊長即可解決問題．

（1）如圖1中，作HK⊥OA于K

∵OA=，OC=OA=3，

∴A(0，)，B(3，0)，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有

解得

∴直線AC的解析式為

∵tan∠OAC=

∴∠OAC=

∵OD⊥AC于H，

∴∠AHO=

∴∠AOH=

∴OH=OAcos=

∵HK⊥OA，

∴HK=OH=，OK=HK=

∴H(，)．

故答案為：，H(，)

（2）如圖2中，

∵|PCPB|BC，

∴當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，|PCPB|的值最大，此時(shí)P′(3，)，

作P′G∥AC，使得P′G=EF=，此時(shí)

作G關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M，連接DM交AC于E，GM交AC于，此時(shí)P′F+EF+DE的值最�。�

∵GJ=JM，設(shè)M(m，n)，

則有

解得

∴M(0，)，∵D(1，)，

∴直線DM的解析式為

由

解得

∴

故答案為：

（3）如圖3中，

當(dāng)NC=NM時(shí)，可得菱形MNCQ

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=

∴∠ONM=∠NCM+∠NMC=

∵OH′=OH=，

∴ON=OH′cos=，

∴CN=CQ=HN=HQ=3，

∴Q(，)

故答案：存在，Q(，)