Question

如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE，BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：

①FB⊥OC，OM=CM；

②△EOB≌△CMB；

③四邊形EBFD是菱形；

④MB：OE=3：2．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點(diǎn)，

∴BD也過(guò)O點(diǎn)，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

∵FO=FC，BF=BF

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對(duì)稱，

∴FB⊥OC，OM=CM；

∴①正確，

∵∠OBC=60°，

∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM=∠CBM=30°，

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，

易證△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴OB⊥EF，

∴四邊形EBFD是菱形，

∴③正確，

∴△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB錯(cuò)誤．

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，

∴MB=，OF=，

∵OE=OM，

∴MB：OE=3：2，正確；

故選C．

考點(diǎn)：1、菱形的判定與性質(zhì)；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、矩形的性質(zhì)；4、三角函數(shù)