Question

【題目】對于一個矩形ABCD及⊙M給出如下定義：在同一平面內(nèi)，如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M上一點的距離相等，那么稱這個矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：交x軸于點M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線運動（BD在直線l上），BD=2，AB∥y軸，當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時，點C的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】（，）或（，）．

【解析】

試題分析：根據(jù)“伴侶矩形”的定義可知：圓上的點一定在矩形的對角線交點上，因為只有對角線交點到四個頂點的距離相等，由此畫出圖形，先求出直線與x軸和y軸兩交點的坐標(biāo)，和矩形的長和寬；

有兩種情況：①矩形在x軸下方時，作輔助線構(gòu)建相似三角形得比例式，分別求出DG和DH的長，從而求出CG的長，根據(jù)坐標(biāo)特點寫出點C的坐標(biāo)；②矩形在x軸上方時，也分別過C、B兩點向兩坐標(biāo)軸作垂線，利用平行相似得比例式，求出C的坐標(biāo)．

試題解析：如圖所示，矩形在這兩個位置時就是⊙M的“伴侶矩形”，根據(jù)直線l：得：OM=，ON=3，由勾股定理得：MN==；

①矩形在x軸下方時，分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG，由cos∠ABD=cos∠ONM=，∴，AB=，則AD=1，∵DG∥y軸，∴△MDG∽△MON，∴，∴，∴DG=，∴CG=+=，同理可得：，∴，∴DH=，∴C（，）；

②矩形在x軸上方時，同理可得：C（，）；

故答案為：（，）或（，）．