Question

如圖，拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（3，-2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）利用配方法求此拋物線的頂點(diǎn)式；
（3）若直線y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²-3ax+b中，通過(guò)解方程組即可求出待定系數(shù)的值．
（2）將（1）的拋物線解析式配方成y=a（x-k）²+b的形式即可．
（3）直線y=kx+1必過(guò)（0，1）點(diǎn)，由圖可以看出若該直線平分四邊形ADCB的面積，那么必須經(jīng)過(guò)線段AB和CD；而點(diǎn)A、B和點(diǎn)D、C分別關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，那么四邊形ADCB必為等腰梯形，拋物線對(duì)稱軸正好可以將等腰梯形ADCB二等分（設(shè)拋物線與梯形上、下底的交點(diǎn)分別為E、F，設(shè)線段EF的中點(diǎn)為G），所以直線y=kx+1必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)G（此時(shí)該直線與梯形上下底、拋物線對(duì)稱軸構(gòu)建的兩個(gè)三角形正好全等）才能使得四邊形ADCB的面積二等分，所以先求出G點(diǎn)的坐標(biāo)再代入直線的解析式中即可解出k的值．

解答：解：（1）將A（-1，0），C（3，-2）代入拋物線y=ax²-3ax+b中，得：

a+3a+b=0 9a-9a+b=-2

，解得

a= 1 2 b=-2

故拋物線的解析式：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）由（1）知：y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x+

9

4

）-

1

2

×

9

4

-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

．

（3）由圖知，A、B以及C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則四邊形ADCB是等腰梯形，且B（4，0）、D（0，-2）；
直線y=kx+1過(guò)（0，1），若該直線能將四邊形ADCB的面積二等分，則該直線必過(guò)梯形的上下底；
取等腰梯形ADCB的上、下底的中點(diǎn)E、F，取線段EF的中點(diǎn)G，如右圖；
則E（

3

2

，-2）、F（

3

2

，0）、G（

3

2

，-1）；
∵AB∥CD，
∴∠FNG=∠EMG，
又∵∠FGN=∠EGM，且FG=GE，
∴△FGN≌△EGM，即S_△FNG=S_△EMG；
易知，S_梯形AFED=S_梯形BFEC，則：S_{四邊形ANMD}=S_{四邊形BNMC}
因此，若直線y=kx+1將四邊形ADCB的面積二等分，那么該直線必過(guò)點(diǎn)G，有：

3

2

k+1=-1，
解得：k=-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及等腰梯形面積等分線的問(wèn)題；最后一題的難度較大，找出直線必過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)是解答題目的關(guān)鍵所在．