Question

如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上 不與A、D重合．MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P．
Ⅰ連接B B′，那么B B′與MN的長度相等嗎？為什么？
Ⅱ設(shè)BM=y，AB′=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
Ⅲ猜想當(dāng)B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形MN C′B′面積最��？并驗證你的猜想．

Answer 1

解：Ⅰ、過點N作NR⊥AB，垂足為R，連接BB′交MN于點Q．
則由折疊知，△MBQ與△MB′Q關(guān)于直線MN對稱，
∴MQ⊥BB′．
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，
又∵RN=AB=1，
∴△RNM≌△ABB′，
∴BB′=MN．

Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，
∵==，
∵AB′=x，
則BB′=，BQ=，代入上式得：
BM=（x²+1）．

Ⅲ、由Ⅱ得：BM=（x²+1），
CN=BR=BM-MR=（x²+1）-x=（x-1）²，
∵M(jìn)B′∥NC′，
∴四邊形MNC′B′是梯形，
∴S=[（x-1）²+（x²+1）]×1=（x²-x+1），
由S=（x²-x+1）=（x-）²+，
故當(dāng)x=時，即B落在AD的中點處時，梯形面積最小，其最小值為．
分析：Ⅰ、根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠A=∠MRN=90°，又∵∠ABB′=∠RNM，RN=AB=1，可知△ABB′≌△RNM，繼而可知BB′=MN；
Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
Ⅲ、由Ⅱ可得到MB′和CN的表達(dá)式，繼而根據(jù)梯形的面積公式求出S的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出S的最小值．
點評：此題考查了翻折變換，要注意翻折不變性和正方形的性質(zhì)等隱含條件．題目還涉及二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強．