Question

（2012•晉江市質(zhì)檢）把一塊三角板置于平面直角坐標(biāo)系中，三角板的直角頂點(diǎn)為P，兩直角邊與x軸交于A、B，如圖1，測(cè)得PA=PB，AB=2．以P為頂點(diǎn)的拋物線y=-（x-2）²+k恰好經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸x=a與x軸交于點(diǎn)E．

（1）填空：a=

2

，k=

1

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（2，0）

；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)P作直線PM⊥y軸，垂足為M．如圖2，把三角板繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一定角度，使其中一條直角邊恰好過(guò)點(diǎn)C，另一條直角邊與拋物線的交點(diǎn)為D，試問(wèn)：點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)是否在同一直線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若Q（m，n）為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CF、QC，過(guò)Q作QF⊥PM，垂足為F．試探索：是否存在點(diǎn)Q，使得△QCF是以QC為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出PE的長(zhǎng)以及利用頂點(diǎn)式求出對(duì)稱軸即可；
（2）首先過(guò)D作DG⊥PM于點(diǎn)G，得出△DPG∽△PCM，進(jìn)而得出

DG

PM

=

PG

CM

，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線CE的解析式進(jìn)而得出D點(diǎn)是否在直線上；
（3）由勾股定理可得：QC²=m²+（n+3）²，QF²=（n-1）²，CF²=m²+16，再利用當(dāng)QC=QF時(shí)以及當(dāng)QC=CF時(shí)求出m的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-（x-2）²+k，
∴拋物線的對(duì)稱軸x=a=2，
∵三角板的直角頂點(diǎn)為P，兩直角邊與x軸交于A、B，PA=PB，AB=2，
∴PE=

1

2

AB=1，
∴k=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），
故答案為：2，1，（2，0）；

（2）過(guò)D作DG⊥PM于點(diǎn)G，
則有∠DGP=∠PMC=90°
由題意可知，∠CPD=90°，即∠DPG+∠CPM=90°，
∵PM⊥y軸，
∴∠CPM+∠PCM=90°，
∴∠DPG=∠PCM，
∴△DPG∽△PCM，
∴

DG

PM

=

PG

CM

，
（注：本式也可由tan∠DPG=tan∠PCM得到）
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，-t²+4t-3），
則PG=t-2，DG=1-（-t²+4t-3）=t²-4t+4，
又∵PM=2，MC=4，
∴

t2-4t+4

2

=

t-2

4

，
解得：t1=

5

2

，t₂=2（不合舍去）．
故點(diǎn)D坐標(biāo)為(

5

2

，

3

4

)，
設(shè)直線CE的解析式為y=k₁x+b（k₁≠0），
由題意得

b=-3 2k1+b=0

，
解得

k1= 3 2 b=-3

故直線CE的解析式為y=

3

2

x-3，
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=

3

2

×

5

2

-3=

3

4

則點(diǎn)D在直線CE上，即點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上．

（3）存在．
由勾股定理可得：QC²=m²+（n+3）²，QF²=（n-1）²，CF²=m²+16，
當(dāng)QC=QF時(shí)，有QC²=QF²
則m²+（n+3）²=（n-1）²
解得：n=-

m2+8

8

，
又∵Q（m，n）在拋物線上，
∴n=-m²+4m-3
∴-

m2+8

8

=-m2+4m-3，
解得：m1=

4

7

，m₂=4，
當(dāng)QC=CF時(shí)，有QC²=CF²，
∴m²+（n+3）²=m²+16，
解得n₁=-7，n₂=1（不合題意舍去）
由-m²+4m-3=-7，
解得：m=2±2

2

，
綜上所述，當(dāng)m=

4

7

，4或2±2

2

時(shí)，△QCF是以QC為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．