Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，

AC

=

CF

，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求證：AE=CE；
（2）若AD=2，BD=8，求AF的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明

AC

=

AG

，借助

AC

=

CF

，得到

AG

=

CF

，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；根據(jù)勾股定理求出CD；進而求出AE；證明△ADE∽△AFB，列出比例式即可解決問題．

解答：（1）證明：連接AG，CF．
∵AB為直徑，且AB⊥CG，
∴

AC

=

AG

，
又∵

AC

=

CF

，
∴

AG

=

CF

，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．
（2）連接BF；
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，∠AFB=90°；而CD⊥AB，
∴CD²=AD•BD=16，
∴CD=4；設(shè)AE=CE=λ，
∴DE=4-λ，由勾股定理得：
λ²=2²+（4-λ）²，
解得：λ=2.5，即AE=2.5．
∵∠FAB=∠EAD，∠EDA=∠BFA，
∴△ADE∽△AFB，
∴AE：AB=AD：AF，而AB=10，AD=2，AE=2.5，
∴AF=8．

點評：本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理．根據(jù)圓周角得出相關(guān)的角相等是本題的解題關(guān)鍵．