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6.等邊△ABC的邊長為2,P是BC邊上的任一點(與B、C不重合)設(shè)BP=x,連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE,分別與邊AB、AC交于點M、N.(如圖1).
(1)求證:AM=AN;
(2)若BM=38,求x的值;
(3)求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最小值;
(4)如圖2,連接DE分別與邊AB、AC交于點G,H,當(dāng)x為何值時,∠BAD=15°.

分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PAN=∠DAM,證明△ADM≌△APN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;
(2)證明△BPM∽△CAP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,解方程即可;
(3)作PH⊥AB于H,根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念求出S△ADP,根據(jù)四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積得到答案;
(4)連接PG,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)計算即可.

解答 (1)證明:∵△ABC、△APD、△APE都是等邊三角形,
∴AD=AP,∠ADM=∠APN=60°,∠DAP=∠BAC=60°,
∴∠PAN=∠DAM,
在△ADM和△APN中,
{DAM=PANAD=APADM=APN,
∴△ADM≌△APN,
∴AM=AN;
(2)解:∵∠PMB=∠MPA+∠BAP,∠APC=∠B+∠BAP,∠MPA=∠B=60°,
∴∠PMB=∠APC,又∠B=∠C,
∴△BPM∽△CAP,
BMPC=BPAC,即382x=x2,
整理得,4x2-8x+3=0,
解得,x1=12,x2=32,
∴當(dāng)BM=38時,x的值為1232;
(3)如圖1,作PH⊥AB于H,
∵△ADM≌△APN,
∴四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積,
∵BP=x,∠B=60°,
∴BH=12x,PH=32x,
∴AH=2-12x,
由勾股定理得,AP2=AH2+PH2=(2-12x)2+(32x2=x2-2x+4,
∵△ADP是等邊三角形,
∴S△ADP=12×32AP×AP=34AP2=34(x-1)2+334
∴S的最小值為334;
(4)連接PG,
當(dāng)∠BAD=15°時,∵∠DAP=60°,
∴∠GAP=45°,
∵四邊形ADPE是菱形,
∴AP⊥DE,
∴AG=PG,
∵∠B=60°,BP=x,
∴BG=12x,AG=PG=32x,
12x+32x=2,
解得,x=23-2,
∴當(dāng)x=23-2時,∠BAD=15°.

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定和性質(zhì),靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

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【拓展推廣】
(2)如圖②,△ABC的三條中線分別是AD,BE,CF,將AD平移至GB,連結(jié)EG.
①求證:△BEG是△ABC的中線三角形;
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