Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=30°，CD⊥AB于D，E為CD上一點(diǎn)，使得∠CAE=30°，連接BE，求證：∠BED=3∠BCD．

Answer 1

分析 以AC為邊向下作等邊三角形△ACG，以BG為邊向右作等邊三角形△BGI，連接EB，EI，先證明△AGB≌△CGI，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AB=BG=IG=IC，EG=EC可以證明，∠BEG=∠IEG=∠CEI，再由∠BEG=∠IEG=∠CEI=60°-∠2和∠DEB=180°-3∠CEI得到證明．

解答 證明：如圖以AC為邊向下作等邊三角形△ACG，以BG為邊向右作等邊三角形△BGI，連接EB，EI．
∵∠BGI=∠AGC=60°，
∴∠BGA=∠CGI，
在△ACG和△CGI中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CG}\\{∠AGB=∠CGI}\\{BG=GI}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△CGI，
∴∠1=∠3，∵CA=CG，∠ACB=∠BCG=30°，
∴BC⊥AG，AO=OG，
∴BC垂直平分AG，
∴BA=BG，
∴AB=BG=GI=IC，
∵AG=AC，∠EAI=∠EAC=30°，
∴AE垂直平分GC，
∵IG=IC，
∴點(diǎn)I在CG的垂直平分線上，
∴A、E、I共線，
∴EG=EC，∠GEI=∠CEI，
∵∠1+∠DKA=90°，∠2+∠OKC=90°，∠DKA=∠OKC，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠ECI=∠BCG=30°，
∵∠EGC=∠ECG，∠IGC=∠ICG，
∴∠EGI=∠ECI=30°，
∵∠BGI=60°，
∴∠BGE=∠IGE=30°，
∵BG=GI，
∴GE垂直平分BI，
∴EB=EI，∠BEG=∠IEG=∠CEI，
∵∠CEI=∠EAC+∠ACE，
∴∠CEI+∠2=∠EAC+∠ACE+∠2=60°，
∴∠BEG=∠IEG=∠CEI=60°-∠2，
∵∠DEB=180°-3∠CEI=180°-3（60°-∠2）=3∠2，
即∠BED=3∠DCB．

點(diǎn)評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．