Question

若n是質數(shù)，且分數(shù)

n-4

n+17

不約分或經過約分后是一個最簡分數(shù)的平方，則n=______或 ______．

Answer 1

根據(jù)題意可設n+17=ka²…①，n-4=kb²，…②，最簡分數(shù)的平方就是：

kb2

ka2

=（

b

a

）²，兩式相減，得k（a²-b²）=21，
k（a+b）（a-b）=1×3×7
可知，質數(shù)n必定大于4，否則n-4將小于0，所以n是奇質數(shù)，則n-4為奇數(shù)，n+17為偶數(shù)．可知a+b＞a-b，所以
①若

n-4

n+17

是最簡分數(shù)，則有
k=1，
a+b=7，
a-b=3，
解得：a=5，b=2，此時n-4=4，為偶數(shù)，不符；
或者：k=1，
a+b=21，
a-b=1，
解得：a=11，b=10，此時n-4=100，為偶數(shù)，不符；
②所以

n-4

n+17

不是最簡分數(shù)，則有
k=3，
a+b=7，
a-b=1，
解得：a=4，b=3，此時n=31，n-4=27，n+17=48，

n-4

n+17

=

27

48

=

9

16

=（

3

4

）²，符合要求；
或者：k=7，
a+b=3，
a-b=1，
解得：a=2，b=1，此時n=11，n-4=7，n+17=28，

n-4

n+17

=

7

28

=

1

4

=（

1

2

）²，符合要求．
綜上所述，n的值為31和11．
故答案為：31或11．