Question

已知：拋物線y=x²+（a-2）x-2a（a為常數(shù)，且a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（A在B左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．
①當(dāng)AC=2

5

時(shí)，求拋物線的解析式；
②將①中的拋物線沿x軸正方向平移t個(gè)單位（t＞0），同時(shí)將直線l：y=3x沿y軸正方向平移t個(gè)單位，平移后的直線為l′，移動(dòng)后A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′．當(dāng)t為何值時(shí)，在直線l'上存在點(diǎn)P，使得△A′B′P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）令拋物線的y值等于0，證所得方程的△＞0即可；
（2）①令拋物線的解析式中y=0，通過(guò)解方程即可求出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到OA的長(zhǎng)；易知C（0，-2a），由此可得到OC的長(zhǎng)，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理即可得到關(guān)于a的方程，可據(jù)此求出a的值，即可確定拋物線的解析式；
②根據(jù)平移的性質(zhì)，可用t表示出直線l′的解析式以及A′、B′的坐標(biāo)；由于拋物線在向右平移的過(guò)程中，開(kāi)口大小沒(méi)有變化，因此A′B′的長(zhǎng)度和AB相等，由此可得到A′B′的長(zhǎng)；若△A′B′P是以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，那么可有兩種情況：
①∠PA'B'=90°，此時(shí)PA′=A′B′；②∠PB'A'=90°，此時(shí)PB′=A′B′；
根據(jù)PA′、PB′的表達(dá)式及A′B′的長(zhǎng)，即可求出t的值．

解答：（1）證明：令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）²+8a=（a+2）²（1分）
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a-2）x-2a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（2分）
（2）①令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a
∵A在B左側(cè)，且a＞0，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（-a，0），B（2，0）．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，
∴C（0，-2a）（3分）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，AO2+CO2=(2

5

)2，a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴拋物線的解析式為y=x²-4；（4分）
②依題意，可得直線l'的解析式為y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0），A'B'=AB=4
∵△A'B'P為以A'B'為直角邊的等腰直角三角形，
∴當(dāng)∠PA'B'=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t-2，4）或（t-2，-4）
∴|3（t-2）+t|=4
解得t=

5

2

或t=

1

2

（6分）
當(dāng)∠PB'A'=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t+2，4）或（t+2，-4）
∴|3（t+2）+t|=4
解得t=-

5

2

或t=-

1

2

（不合題意，舍去）
綜上所述，t=

5

2

或t=

1

2

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，需注意的是在等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定的情況下，要分類討論，以免漏解．