Question

已知拋物線L;y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是,與y軸的交點(diǎn)是M(0,c)我們稱以M為頂點(diǎn),對稱軸是y軸且過點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L的伴隨直線.

(1)請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式:

 伴隨拋物線的關(guān)系式_________________

伴隨直線的關(guān)系式___________________

(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是___________:

(3)求拋物線L:y=ax²+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式;

(4)若拋物線L與x軸交于A(x₁,0),B(x₂,0)兩點(diǎn)x₂>x₁>0,它的伴隨拋物線與x 軸交于C,D兩點(diǎn),且AB=CD,請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=-2x²+1,y=-2x+1 (2)y=x²-2x-3(3) y=-ax²+c.，y=x+c(4) b²=8ac且ab<0,(或b²=8ac且bc<0)

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．

（1）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點(diǎn)P和拋物線與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)．然后根據(jù)M的坐標(biāo)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式．根據(jù)M，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線PM的解析式；

（2）由題意可知：伴隨拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，伴隨拋物線與伴隨直線的交點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外）是拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可求出拋物線的解析式；

（3）方法同（1）；

（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：

拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點(diǎn)，因此△＞0，①

由于拋物線L中，x₂＞x₁＞0，因此拋物線的對稱軸x＞0，兩根的積大于0．②

根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件．

解：(1)y=-2x²+1,y=-2x+1.

    (2)y=x²-2x-3

    (3)∵伴隨拋物線的頂點(diǎn)是(0,c),

    ∴設(shè)它的解析式為y=m(x-0)²+c(m≠0).

    ∴設(shè)拋物線過P,

    ∴

    解得m=-a,∴伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax²+c.

    設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k≠0).

    ∵P在此直線上,∴, ∴k=.

    ∴伴隨直線關(guān)系式為y=x+c

    (4)∵拋物線L與x軸有兩交點(diǎn),∴△₁=b²-4ac>0,∴b²<4ac.

∵x₂>x₁>0,∴x₁+ x₂= ->0,x₁x₂=>0,∴ab<0,ac>0.

對于伴隨拋物線y=-ax²+c,有△₂=0²-(-4ac)=4ac>0.由-ax²+c=0,得x=.

∴,∴CD=2.

    又AB=x₂-x₁=.

由AB=CD,得 =2, 整理得b²=8ac,

綜合b²>4ac,ab<0,ac>0,b²=8ac,得a,b,c滿足的條件為b²=8ac且ab<0,(或b²=8ac且bc<0).