Question

18．一座獎(jiǎng)杯主視圖如圖所示，底座上部輪廓是拋物線的一部分，如圖，包裝獎(jiǎng)杯的包裝盒是-個(gè)長(zhǎng)、寬都為a（cm），高為b（cm）的長(zhǎng)方體紙盒．長(zhǎng)方體紙盒側(cè)面ABCD周長(zhǎng)為120cm，長(zhǎng)方體表面積為S（cm²）．
（1）試用只含a的代數(shù)式表示S；
（2）若2a≤b，當(dāng)a取何值時(shí)，S有最大值，求出S的最大值；
（3）圖3是把獎(jiǎng)杯放入包裝盒后的剖面圖，F(xiàn)G=a（cm），GH=b（cm），底座寬度較小能放入盒中，以FG所在直線為x軸，以FG中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線的解析式為y=mx²+10，a�。�2）中使S最大的a的值，若獎(jiǎng)杯高度等于包裝盒的高度b（cm），拋物線過（8，26）．試判斷獎(jiǎng)杯能否放進(jìn)包裝盒并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)（長(zhǎng)+寬）×2=周長(zhǎng)，可得關(guān)于a、b的方程，再變形用只含a的代數(shù)式表示S；
（2）根據(jù)2a≤b確定a的取值范圍，再根據(jù)長(zhǎng)方體表面積求法表示出長(zhǎng)方體表面積S關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式并配方，結(jié)合a的取值范圍確定最值；
（3）先由拋物線過（8，26）求拋物線解析式，由（2）知b=40，即y=40求出獎(jiǎng)杯頂部開口大小，再與紙盒的寬a比較大小即可．

解答 解：（1）∵側(cè)面ABCD周長(zhǎng)為120cm，
∴2（a+b）=120，即b=60-a，
則長(zhǎng)方體表面積S=2a²+4ab=2a²+4a（60-a）=-2a²+240a；
（2）由題意知2a≤b，即2a≤60-a，解得：a≤20，
∵S=-2a²+240a=-2（a-60）²+7200，
∴當(dāng)a＜60時(shí)，S隨a的增大而增大，
故當(dāng)a=20cm時(shí)，S取得最大值，最大值為4000cm²；
（3）獎(jiǎng)杯不能放進(jìn)包裝盒，
∵拋物線的解析式為y=mx²+10，且拋物線過（8，26），
∴64m+10=26，解得：m=$\frac{1}{4}$，
故拋物線解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+10；
當(dāng)a=20時(shí)，b=60-20=40，
故當(dāng)y=40時(shí)，$\frac{1}{4}{x}^{2}$+10=40，解得：x=±2$\sqrt{30}$，
∵2×2$\sqrt{30}$＞20，
∴獎(jiǎng)杯不能放進(jìn)包裝盒．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是基礎(chǔ)，根據(jù)相應(yīng)函數(shù)值求x的值并比較大小是關(guān)鍵．