Question

如圖，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°．
（1）AB與DE平行嗎？請說明理由；
（2）若DC是∠NDE的平分線．
①試說明∠ABC=∠C；
②試說明BD是∠ABC的平分線．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì),垂線

專題：

分析：（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可證得∠ABC=∠1=60°，進而證明∠ABC=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可證得；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求得∠NDE的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義，以及平行線的性質(zhì)即可求得∠C的度數(shù)，從而判斷；
②在直角△BCD中，求得∠DBC的度數(shù)，然后求得∠ABD的度數(shù)，即可證得．

解答：解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC=∠1=60°．（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等  ）
又∵∠1=∠2，（ 已知 ）
∴∠ABC=∠2．（ 等量代換 ）
∴AB∥DE．（ 同位角相等，兩直線平行 ）；
（2）①∵MN∥BC，
∴∠NDE+∠2=180°，
∴∠NDE=180°-∠2=180°-60°=120°．
∵DC是∠NDE的平分線，
∴∠EDC=∠NDC=

1

2

∠NDE=60°．
∵MN∥BC，
∴∠C=∠NDC=60°．
∴∠ABC=∠C．
②∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°．
∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°．
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC．
∴BD是∠ABC的平分線．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，以及直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，理解定理是關(guān)鍵．