Question

如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，∠AOB=130°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．
（1）判斷△COD的形狀，并加以說明理由．
（2）若AD=1，OC=

2

，OA=

3

時，求α的度數(shù)．
（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CO=CD，∠DCO=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可．
（2）根據(jù)三條邊的關(guān)系得到△RtAOC為直角三角形，得到∠AOC=90°，從而求出α的值．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分為三種情況：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

解答：證明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等邊三角形．
（2）∵AD=1，OC=

2

，OA=

3

∴OA²=AD²+OC²
∴△AOD是直角三角形
∴∠ADO=90°
∴α=360°-130°-90°=140°
（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-130°-∠α-60°=170°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（170°-∠α）=70°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=170°-∠α，
解得：∠α=115°；
若∠ADO=∠OAD，則∠α-60°=70°，
解得：∠α=130°；
若∠OAD=∠AOD，即70°=170°-∠α，
解得：∠α=100°；
即當(dāng)α為100°、130°、115°時，△AOD為等腰三角形．
故答案為：（1）略（2）140°，（3）100°、130°、115°

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，用了分類討論思想．