Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，n）（n＞0）．P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P′（點(diǎn)P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P′C的交點(diǎn)為D．當(dāng)P′D：DC=5：13時(shí)，求m的值；
（2）若∠ACP′=60°，試用m的代數(shù)式表示n；
（3）若點(diǎn)P在第一象限，是否同時(shí)存在m，n，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；
（2）過P′H⊥AC于H，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，把x=-8，y=0代入得：-8k+n=0，于是得到直線的解析式是：y=$\frac{n}{8}$x+n，求得PC=P′H=$\frac{mn}{8}$+n，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到$\frac{P′H}{CH}$=$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論；
（3）分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進(jìn)行討論，由等腰三角形可先求得m的值，再根據(jù)相似三角形可得到關(guān)于n的方程，可求得n的值．

解答 解：（1）∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴$\frac{P′P}{AC}$=$\frac{P′D}{DC}$=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{2m}{m+8}$=$\frac{5}{13}$，
解得：m=$\frac{40}{21}$；

（2）過P′H⊥AC于H，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，
把x=-8，y=0代入得：-8k+n=0，
∴k=$\frac{n}{8}$，
∴直線的解析式是：y=$\frac{n}{8}$x+n，
把x=m代入得y=$\frac{mn}{8}$+n，
∴PC=P′H=$\frac{mn}{8}$+n，
∵∠ACP′=60°，
∴$\frac{P′H}{CH}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\frac{mn}{8}+n}{2m}$=$\sqrt{3}$，
∴n=$\frac{{16\sqrt{3}m}}{8+m}$；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限且△P′CA為等腰直角三角形時(shí)，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進(jìn)行討論．
第一種情況：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H．
∴PP′=CH=AH=P′H=$\frac{1}{2}$AC．
∴2m=$\frac{1}{2}$（m+8），
∴m=$\frac{8}{3}$，P′H=$\frac{16}{3}$，
∵△AOB∽△ACP，
∴$\frac{8}{n}=\frac{\frac{32}{3}}{\frac{16}{3}}$，
∴n=4；
第二種情況：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，則PP′=AC，
∴2m=m+8，
∴m=8，
∵△P′AC為等腰直角三角形，
∴四邊形P′ACP為正方形，
∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{OB}{PC}$，即$\frac{8}{16}$=$\frac{n}{16}$，
∴n=8；
第三種情況：
若∠P′CA=90°，則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
∴所有滿足條件的m=$\frac{8}{3}$，n=4或m=8，n=8．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，在（1）中由條件證明三角形相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵；在（3）中分三種情況分別討論是解題的關(guān)鍵；屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，難度不大，注意對基礎(chǔ)知識(shí)的熟練應(yīng)用．