Question

20．探索規(guī)律：
（1）如圖（1），已知△ABC和△DEC都是等邊三角形．連結(jié)BD和AE．求∠BME的度數(shù)．并說明理由．
（2）當(dāng)三角形都為等腰直角三角形時(shí)．求∠BME的度數(shù)．并說明埋由．
（3）當(dāng)三角形為任意三角形時(shí)如圖（3）．AB=AC．DC=DE，且∠ACB=∠DCE=α．求∠BME的度數(shù)．說出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律
（4）當(dāng)三角形換成正方形時(shí)，規(guī)律還成立嗎？求∠BME的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）要求∠BME只要知道∠DMG，由△ACE≌△BCD得到∠MDG=∠GEC，利用“8字型”得到∠DMG=∠DCE即可解決這個(gè)問題．
（2）類似（1）略
（3）類似（1）略
（4）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決．

解答 解：（1）圖1中，∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠AFM=∠BFC，
∵∠CAE+∠AFM+∠AMF=180°，∠CBD+∠BFC+∠BCA=180°
∴∠AMF=∠ACB=60°，
∴∠BME=180°-∠AMB=120°
（2）圖2中，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，CE=$\sqrt{2}$CD，∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠MGD=∠CGE，
∵∠DMG+∠MGD+∠MDG=180°，∠GCE+∠CGE+∠CEG=180°，
∴∠DMC=∠DCE=45°，
∴∠BME=180°-∠DMG=135°．
（3）如圖3中，∵AB=AC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠BCD=∠ACE
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{EC}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠MGD=∠CGE，
∵∠DMG+∠MGD+∠MDG=180°，∠GCE+∠CGE+∠CEG=180°，
∴∠DMC=∠DCE=α，
∴∠BME=180°-∠DMG=180°-α．
規(guī)律是：∠BME+∠ACB=180°．
（4）結(jié)論成立，∠BME=180°-∠ACB=90°．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是巧妙利用“8字型”證明角相等，此題還考查了學(xué)生觀察、分析、歸納、判斷的能力，是中考常見題型．