Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A為x軸正半軸上的動點，經(jīng)過點A（t，0）作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點B，點B在第一象限，AB=4，直線OB：y₁=kx（k為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=2時，求k的值；
（2）經(jīng)過O，A兩點作拋物線y₂=ax（x-t）（a為常數(shù)，a＞0），直線OB與拋物線的另一個交點為C．
①用含a，t的式子表示點C的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)t≤x≤t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而減小；當(dāng)x≥t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）找出當(dāng)t=2時，B點的坐標(biāo)，將其代入直線OB：y₁=kx中即可；
（2）①用t表示出直線OB的關(guān)系式，令y₁=y₂即可用含a，t的式子表示點C的橫坐標(biāo)；
②找出y₁-y₂的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)為一個開口向下的拋物線，結(jié)合給定條件能夠得知，拋物線的對稱軸不超過x=t，且拋物線與x軸的另一個交點為（t+4，0），由此可得出a與t的關(guān)系式并能知道t的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)t=2時，點A的坐標(biāo)為（2，0），
∵經(jīng)過點A（2，0）作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點B，點B在第一象限，AB=4，
∴點B的坐標(biāo)為（2，4）．
∵點B在直線OB：y₁=kx（k為常數(shù)）上，
∴有4=2k，解得：k=2．
（2）①點B（t，4）在直線OB：y₁=kx上，
∴有4=kt，解得：k=$\frac{4}{t}$，
∴y₁=$\frac{4}{t}$x．
令y₁=y₂，即$\frac{4}{t}$x=ax（x-t），
解得：x=0，或者x=t+$\frac{4}{at}$．
故點C的橫坐標(biāo)x=t+$\frac{4}{at}$．
②y₁-y₂=$\frac{4}{t}$x-ax（x-t）=-ax²+（at+$\frac{4}{t}$）x．
∵a＞0，
∴-a＜0，函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)圖象大體如下圖．

∵當(dāng)t≤x≤t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而減小；當(dāng)x≥t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而增大，
∴二次函數(shù)y₁-y₂的對稱軸在x=t的左側(cè)或者重合，而且二次函數(shù)y₁-y₂與x軸的另一個交點為（t+4，0）．
∵y₁-y₂=-ax²+（at+$\frac{4}{t}$）x=-ax（x-t-$\frac{4}{at}$），
∴有t+$\frac{4}{at}$=t+4，
解得：a=$\frac{1}{t}$．
二次函數(shù)對稱軸$\frac{at+\frac{4}{t}}{2a}$≤t，即at²≥4，
∵at=1，
∴t≥4．
故當(dāng)t≤x≤t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而減�。划�(dāng)x≥t+4時，|y₁-y₂|的值隨x的增大而增大時，a與t的關(guān)系式a=$\frac{1}{t}$（t≥4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找出B點坐標(biāo)代入直線OB關(guān)系式；（2）①由B點坐標(biāo)表示出直線OB關(guān)系式，利用直線與拋物線交點是C可找出C點坐標(biāo)；②由二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)可以分析得知拋物線與x軸交點為原點和（t+4，0），結(jié)合單調(diào)性可得出t的取值范圍．