Question

（2012•義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=-

4

27

x2+

22

3

交于點(diǎn)A（3，6）．
（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；
（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長度；
（2）如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點(diǎn)的位置不同時(shí)，這個(gè)結(jié)論依然成立；
（3）由已知條件角的相等關(guān)系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．設(shè)OE=a，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式m=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），這是一個(gè)二次函數(shù)．借助此二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時(shí)，a的取值（即OE的長度，或E點(diǎn)的位置）有1個(gè)或2個(gè)．這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長度．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．（2分）
OA=

32+62

=3

5

．…（3分）

（2）

QM

QN

是一個(gè)定值，理由如下：
如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．
①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，
此時(shí)

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2；
②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…（5分），
∴

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2，
當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得

QM

QN

=2． …（7分）①①

（3）如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=

1

2

OA=

3

2

5

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴

OF

OC

=

AO

OR

=

3 5

3

=

5

，
∴OF=

3

2

5

×

5

=

15

2

，
∴點(diǎn)F（

15

2

，0），
設(shè)點(diǎn)B（x，-

4

27

x2+

22

3

），
過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，
∴

BK

FR

=

AK

AR

，
即

x-3

7.5-3

=

6-(- 4 27 x2+ 22 3 )

6

，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴點(diǎn)B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5         …（8分）；
（求AB也可采用下面的方法）
設(shè)直線AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（

15

2

，0）代入得
k=-

4

3

，b=10，
∴y=-

4

3

x+10，
∴

y=- 4 3 x+10 y=- 4 27 x2+ 22 3

，
∴

x1=3 y1=6

（舍去），

x2=6 y2=2

，
∴B（6，2），
∴AB=5…（8分）
（其它方法求出AB的長酌情給分）
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．…（9分）
設(shè)OE=a，則AE=3

5

-a（0＜a＜3

5

），
由△ABE∽△OED得

AE

AB

=

OD

OE

，
∴

3 5 -a

5

=

m

a

，
∴m=

1

5

a（3

5

-a）=-

1

5

a²+

3 5

5

a（0＜a＜3

5

），
∴頂點(diǎn)為（

3

2

5

，

9

4

）
如答圖3，當(dāng)m=

9

4

時(shí)，OE=a=

3

2

5

，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)0＜m＜

9

4

時(shí)，任取一個(gè)m的值都對應(yīng)著兩個(gè)a值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)．
∴當(dāng)m=

9

4

時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)…（11分）
當(dāng)0＜m＜

9

4

時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)…（12分）．

點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關(guān)知識，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點(diǎn)．解題的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化，要求同學(xué)們能夠?qū)⑺�求解的問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)問題，利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識去解決問題，否則解題時(shí)將不知道從何下手而導(dǎo)致失分．