Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}{m^2}$+1=0的兩根是一個(gè)矩形的兩鄰邊的長(zhǎng)，且矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{29}$，則m的值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=29，即9-2k=5即可求解．

解答 解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴△=（m+1）²-4（$\frac{1}{4}{m^2}$+1）≥0，
解得m≥$\frac{3}{2}$，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x₁+x₂=m+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}{m^2}$+1．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（m+1）²-2（$\frac{1}{4}{m^2}$+1）=5，
∴m=2或m=-6；
∴m=2，
故答案為：m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＞0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理以及矩形的性質(zhì)．