Question

在y=-2x²+4x+3中．
（1）寫出該拋物線的增減性，頂點坐標(biāo)，對稱軸，開口方向和最大值；
（2）求出與y軸的交點C的坐標(biāo)以及其對稱點D的坐標(biāo)；
（3）求出與x軸的交點A、B的坐標(biāo)；
（4）寫出當(dāng)x為何值時，①y=0；②y＞0；③y＜0；
（5）寫出當(dāng)x為何值時，①y=3；②y＞3；③y＜3；
（6）已知（-5，y₁）和（10，y₂）比較y₁和y₂的大��；
（7）求四邊形ABCD的面積；
（8）已知點M（3，-3），在x軸上找一P使得MP+CP的值最小，并寫出點P的坐標(biāo)；
（9）寫出此拋物線向左平移兩個單位長度再向下平移三個單位長度后的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）將x=0代入y=-2x²+4x+3，求出y的值，進而得到與y軸的交點C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性得到對稱點D的坐標(biāo)；
（3）將y=0代入y=-2x²+4x+3，求出x的值，進而得到與x軸的交點A、B的坐標(biāo)；
（4）①A、B兩點橫坐標(biāo)的值即為y=0時x的值；②二次函數(shù)y=-2x²+4x+3落在x軸上方的部分即為y＞0時x的取值，根據(jù)拋物線開口方向及與x軸的交點A、B
橫坐標(biāo)的值即可求解；③二次函數(shù)y=-2x²+4x+3落在x軸下方的部分即為y＜0時x的取值，根據(jù)拋物線開口方向及與x軸的交點A、B橫坐標(biāo)的值即可求解；
（5）①由于C、D兩點縱坐標(biāo)的值為3，所以C、D兩點橫坐標(biāo)的值即為y=3x的值；②二次函數(shù)y=-2x²+4x+3落在CD上方的部分即為y＞3時x的取值，根據(jù)拋物線開口方向及與C、D兩點橫坐標(biāo)的值即可求解；③二次函數(shù)y=-2x²+4x+3落在CD下方的部分即為y＜3時x的取值，根據(jù)拋物線開口方向及與C、D兩點橫坐標(biāo)的值即可求解；
（6）把x=-5，x=10分別代入已知拋物線解析式，并分別求得y₁與y₂的值，然后比較它們的大小即可；
（7）根據(jù)四邊形ABCD的面積=

1

2

（AB+CD）•OC即可求解；
（8）運用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，根據(jù)兩點之間線段最短可知直線CM與x軸的交點的坐標(biāo)即為點P的坐標(biāo)；
（9）根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）∵y=-2x²+4x+3=-2（x²-2x）+3=-2（x-1）²+5，
∴a=-2，
∴拋物線開口向下，
對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，5），最大值為5，
增減性：當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小；

（2）∵y=-2x²+4x+3，
∴當(dāng)x=0時，y=3，∴C的坐標(biāo)為（0，3），
∵對稱軸為直線x=1，
∴對稱點D的坐標(biāo)為（2，3）；

（3）∵y=-2x²+4x+3，
∴當(dāng)y=0時，-2x²+4x+3=0，解得x=

2± 10

2

，
∴點A的坐標(biāo)為（

2+ 10

2

，0），點B的坐標(biāo)為（

2- 10

2

，0）；

（4）①當(dāng)x=

2± 10

2

時，y=0；
②當(dāng)

2- 10

2

＜x＜

2+ 10

2

時，y＞0；
③當(dāng)x＜

2- 10

2

或x＞

2+ 10

2

時，y＜0；

（5）①∵C（0，3），D（2，3），
∴當(dāng)x=0或2時，y=0；
②當(dāng)0＜x＜2時，y＞3；
③當(dāng)x＜0或x＞2時，y＜3；

（6）∵y=-2x²+4x+3，
∴當(dāng)x=-5時，y₁=-2×（-5）²+4×（-5）+3=-67，
當(dāng)x=10時，y₂=-2×10²+4×10+3=-157，
∴y₁＞y₂；

（7）∵AB=

2+ 10

2

-

2- 10

2

=

10

，CD=2，OC=3，
∴四邊形ABCD的面積=

1

2

（AB+CD）•OC=

1

2

（

10

+2）×3=

3 10+6

2

；

（8）設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，
∵C（0，3），M（3，-3），
∴

b=3 3k+b=-3

，解得

k=-2 b=3

，
∴y=-2x+3，
當(dāng)y=0時，-2x+3=0，x=

3

2

，
∴點P的坐標(biāo)為（

3

2

，0）；

（9）∵y=-2x²+4x+3=-2（x-1）²+5，
∴將此拋物線向左平移兩個單位長度再向下平移三個單位長度后的解析式為y=-2（x-1+2）²+5-3，即y=-2（x+1）²+2或y=-2x²-4x．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰梯形的面積，二次函數(shù)的圖象與幾何變換等知識，綜合性較強，涉及的知識點較多，運用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵．