Question

如圖，以點(diǎn)G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，已知拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并在圖中畫(huà)出此拋物線(xiàn)的大致圖象；
（3）點(diǎn)F（8，m）在拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF+PB的最小值；
（4）OE是⊙G的切線(xiàn)，點(diǎn)E是切點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使△COQ的面積等于△COE的面積？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)以點(diǎn)G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），然后代入拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c求得函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求得拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將y=-x²+x-2配方成y=（x-4）²+的形式，從而求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可作出函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)F（8，m）在拋物線(xiàn)y=-x²+x-2上，求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，連接AF，則與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)PF+PB的最小，然后利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)即為最小值；
（4）連接EG，根據(jù)OE是⊙G的切線(xiàn)，得到∠OEG=90°，然后利用勾股定理求得OE的長(zhǎng)即可，進(jìn)而得出E點(diǎn)坐標(biāo)，求出即可．
解答：解：（1）∵以點(diǎn)G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
∵拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴，
解得：，
∴此拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+x-2；

（2）∵C點(diǎn)為拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2）；
∵y=-x²+x-2=-（x²-8x）-2=-（x-4）²+，
∴此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），如圖：

（3）∵點(diǎn)F（8，m）在拋物線(xiàn)y=-x²+x-2上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，-2），
連接AF，則與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)PF+PB的最小，
∴PA=PB，
∴PF+PB=PA+PF=AF==2；
∴PF+PB的最小值為2；

（4）連接EG，作ER⊥OB，ET⊥y軸，
∴EG=2，
∵OE是⊙G的切線(xiàn)，
∴∠OEG=90°，
∴OE=2．
∵EG=2，OG=4，
∴∠EOG=30°，
∴∠EGO=90°-∠EOG=90°-30°=60°，
∴RG=1，
∴ER=，OR=3，
∴ET=3，
∴△COE的面積為：×2×3=3，
∴△COQ的面積為3，
當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，
y=-x²+x-2=；
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，），
當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3時(shí)，
y=-x²+x-2=0；
y=-，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-3，-），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（-3，-），（3，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中與幾何知識(shí)結(jié)合起來(lái)，更是中考中的常見(jiàn)考題．