Question

閱讀：在三角形中，我們知道“等角對等邊”，“等邊對等角”的性質(zhì)，其實在三角形中“大邊對大角”，“大角對大邊”也成立，類似的，在同圓中，較大的圓心角所對的弦較大，反之，也成立．
應(yīng)用：半徑為2cm的⊙O與邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點F，DC在l上．

（1）過點B作⊙O的一條切線BE，E為切點．
①填空：如圖1，當(dāng)點A在⊙O上時，∠EBA的度數(shù)是

 

；
②如圖2，當(dāng)E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；
（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC與OF重合時結(jié)束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，寫出扇形MON的面積的范圍，并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥BE，OF⊥CF，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD⊥CF，BC⊥CF，且OF=AD=BC=2，由此可判斷點O、A、B共線，則OB=OA+AB=4，然后在Rt△BOE中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到∠EBA=30°；
②由E，A，D三點在同一直線上得EA⊥OB，再證明Rt△OAE∽Rt△OEB，利用相似比得到

OA

2

=

2

OA+2

，變形得OA²+2OA-4=0，然后解方程即可；
（2）連接MN，如圖，設(shè)∠MON=n°，根據(jù)扇形面積公式得S_扇形MON=

nπ

90

，則當(dāng)n越小，S_扇形MON越��；n越大，S_扇形MON越大；根據(jù)閱讀內(nèi)容得到當(dāng)MN越小，n越��；MN越大，n越大；當(dāng)點N在F點，點M在點B處，此時MN最大，此時n=90，所以S_扇形MON的最大值=π；當(dāng)MN∥CD時，MN最小，可判斷△OMN為等邊三角形，此時n=60，所以S_扇形MON的最小值=

2

3

π，于是得到

2

3

π≤S_扇形MON≤π．

解答：解：（1）①∵BE為⊙O的切線，⊙O與l相切于點F，
∴OE⊥BE，OF⊥CF，
∵四邊形ABCD為邊長為2的正方形，
∴AD⊥CF，BC⊥CF，且OF=AD=BC=2，
∴點O、A、B共線，
而點A在⊙O上，
∴OA=2，
∴OB=OA+AB=2+2=4，
在Rt△BOE中，OE=2，OB=4，
∴∠EBO=30°，即∠EBA=30°，
故答案為30°；
②∵E，A，D三點在同一直線上，
而四邊形ABCD為邊長為2的正方形，
∴EA⊥OB，
∴∠OAE=90°，
∵OE⊥BE，
∴∠OEB=90°，
而∠AOE=∠EOB，
∴Rt△OAE∽Rt△OEB，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，即

OA

2

=

2

OA+2

，
∴OA²+2OA-4=0，
解得OA=

5

-1；
（2）連接MN，如圖，設(shè)∠MON=n°，
S_扇形MON=

n•π•22

360

=

nπ

90

，
當(dāng)n越小，S_扇形MON越小；n越大，S_扇形MON越大；
而MN越小，n越��；MN越大，n越大，
當(dāng)點N在F點，點M在點B處，此時MN最大，n=90，S_扇形MON的最大值=

90•π

90

=π；
當(dāng)MN∥CD時，MN最小，MN=CD=2，則△OMN為等邊三角形，n=60，S_扇形MON的最小值=

60π

90

=

2

3

π，
所以

2

3

π≤S_扇形MON≤π．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式；會運用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和相似比進(jìn)行計算．