Question

3．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=10cm，點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的速度作直線運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=5s時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC？
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否變化？如果不變，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△PBQ利用勾股定理即可．
（2）根據(jù)三角形面積公式列出方程即可求解．
（3）結(jié)論不變，作QM⊥AC于M，先證明△AEP≌△QMC得AE=PE=QM=CM，再證明△PDE≌△QDM得DE=DM，由此可以得出DE=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）t=5s時(shí)AP=CQ=5，
在RT△PBQ中，∵PB=AB-AP=5，BQ=BC+CQ=15，
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{5}^{2}}$=5$\sqrt{10}$cm．
（2）由題意：$\frac{1}{2}$•t•（10-t）=$\frac{6}{25}$×$\frac{1}{2}$×10×10，
整理得t²-10t+24=0，
解得t=4或6，
則t=4或6時(shí)，S_△PCQ=$\frac{6}{25}$S_△ABC．
（3）DE的長(zhǎng)度不變，DE=5$\sqrt{2}$，理由如下，
作QM⊥AC于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°，
∵∠AEP=∠QMC=90°，
∴∠APE=∠A=∠QCM=∠CQM=45°，
∴AE=PE，CM=QM，
在△AEP和△QMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CQM}\\{AP=CQ}\\{∠APE=∠QCM}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△QMC，
∴AE=PE=QM=CM，
在△PDE和△QDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMD=∠PED}\\{∠PDE=∠QDM}\\{PE=QM}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDM，
∴DE=DM=$\frac{1}{2}$EM，
∵AE=CM，
∴AC=EM，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)三角形的面積等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．