Question

在平行四邊形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB為直徑作⊙O，邊CD切⊙O于點E．求由弧AE、線段AD、DE所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：連接OE，過A作AF⊥DC，交CD于點F，由ABCD為平行四邊形，得到AB與CD平行，根據(jù)CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，進而得到EO垂直于AB，得到四邊形AOEF為正方形，得到AF=OA，在直角三角形ADF中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，根據(jù)DF+EF求出DE的長，陰影部分面積=直角梯形AOED面積-扇形AOE面積，求出即可．

解答：解：連接OE，過A作AF⊥DC，交CD于點F，
∵ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵CD為圓O的切線，
∴OE⊥CD，
∴EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴四邊形AOEF為正方形，
∴AF=AO=

1

2

AB=5，
∵∠ABC=60°，
∴∠D=60°，
在Rt△ADF中，tan60°=

AF

DF

，即

5

DF

=

3

，
解得：DF=

5 3

3

，
∴DE=DF+EF=

5 3

3

+5，
則S_陰影=S_{直角梯形AOED}-S_扇形AOE=

1

2

×（5+

5 3

3

+5）×5-

90π×52

360

=25+

25 3

6

-

25π

4

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及扇形的面積計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵．