Question

已知二次函數(shù)C₁：y=x²+2ax+2x-a+1，且a變化時(shí)，二次函數(shù)C₁的圖象頂點(diǎn)M總在拋物線C₂上；
（1）用含有a的式子表示頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出拋物線C₂的函數(shù)解析式；
（2）若拋物線C₂的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．且滿足AC=2EF，是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若P是拋物線C₂對(duì)稱軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)y軸平分MN時(shí)，求出直線l的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用配方法將y=x²+2ax+2x-a+1改寫成y=（x+a+1）²-a²-3a，求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-a-1，-a²-3a）；求拋物線C₂的函數(shù)解析式有兩種方法．方法一：分別取a=0，-1，1，得到三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是M₁（-1，0）、M₂（0，2）、M₃（-2，-4），利用待定系數(shù)法可求出拋物線C₂的函數(shù)解析式；方法二：令-a-1=x，將a=-x-1代入y=-a²-3a，即可求出拋物線C₂的函數(shù)解析式；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H．由△CAO∽△EFH，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出EH=

1

2

CO=1，解方程-x²+x+2=1求出x的值，得到E點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，同理可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）要使△ACP的周長(zhǎng)最小，只需AP+CP最小即可．連接BC交對(duì)稱軸于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=

1

2

對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)AP+CP最�。�運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC解析式為y=-x+2，將x=

1

2

代入，求出y=

3

2

，得到P（

1

2

，

3

2

）．再令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

1

2

，

3

2

）的直線l為y=kx-

1

2

k+

3

2

，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx-

1

2

k+

3

2

與y=-x²+x+2，聯(lián)立化簡(jiǎn)得出x²+（k-1）x-

1

2

（k+1）=0，當(dāng)x₁+x₂=1-k=0時(shí)，y軸平分MN，由此求出k=1，得到直線l：y=x+1．

解答：解：（1）∵y=x²+2ax+2x-a+1=x²+（2a+2）x-a+1=（x+a+1）²-a²-3a，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-a-1，-a²-3a）．
方法一：分別取a=0，-1，1，得到三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是M₁（-1，0）、M₂（0，2）、M₃（-2，-4），
過(guò)這三個(gè)頂點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x²+x+2．
將頂點(diǎn)坐標(biāo)M（-a-1，-a²-3a）代入y=-x²+x+2的左右兩邊，
得左邊=-a²-3a，右邊=-（-a-1）²+（-a-1）+2=-a²-3a，
∴左邊=右邊．
即無(wú)論a取何值，頂點(diǎn)M都在拋物線y=-x²+x+2上．
即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是C₂：y=-x²+x+2；
方法二：令-a-1=x，將a=-x-1代入y=-a²-3a，得y=-（-x-1）²-3（-x-1）=-x²+x+2，
即所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是C₂：y=-x²+x+2；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵AC∥EF，
∴△CAO∽△EFH，
∴

CO

EH

=

AC

EF

=2，
∴EH=

1

2

CO=

1

2

×2=1，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)y=1時(shí)，-x²+x+2=1，
解得x=

1+ 5

2

，x=

1- 5

2

（舍去），
∴E（

1+ 5

2

，1）；
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，同理可求得E（

1+ 13

2

，-1）；
綜上所述，滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)有兩個(gè)：E（

1+ 5

2

，1）或（

1+ 13

2

，-1）；

（3）連接BC交對(duì)稱軸于P點(diǎn)．
∵點(diǎn)A、B關(guān)于x=

1

2

對(duì)稱，
∴PB=PA，
∴AP+CP=BP+CP=BC最小，△ACP的周長(zhǎng)=AC+AP+CP=

10

+BC最�。�   
∵B（2，0），C（0，2），
∴直線BC解析式為y=-x+2，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=-

1

2

+2=

3

2

，
∴P（

1

2

，

3

2

）．
令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

1

2

，

3

2

）的直線l為y=kx-

1

2

k+

3

2

，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵y=kx-

1

2

k+

3

2

，y=-x²+x+2，
聯(lián)立化簡(jiǎn)得：x²+（k-1）x-

1

2

（k+1）=0，
∴當(dāng)x₁+x₂=1-k=0時(shí)，y軸平分MN，
解得k=1，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求法，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．