Question

（本題滿分12分）
已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。
小題1:（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
小題2:（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．
①猜想驗(yàn)證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值．若是．請(qǐng)求出該定值；若不是．請(qǐng)說明理由。

Answer 1

小題1:（1）證明：如圖I，分別連接OE、0F
∵四邊形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD
∴0E=OF=OA  ∴點(diǎn)O即為△AEF的外心
小題2:（2）
①猜想：外心P一定落在直線DB上。
證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上。
②為定值2.
當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，
此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．
連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）
可得點(diǎn)P即為△AEF的外心
解法一：如圖3．設(shè)MN交BC于點(diǎn)G
設(shè)DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，則 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴
∴，即
其它解法略。

略