Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4以Rt△ABC的三邊向外作正方形ADEB、ACGH、CBKF，可得一“勾股圖”．再作△PQR，使得∠R=90°，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D、E在邊PR上，點(diǎn)G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長(zhǎng)等于    ．

Answer 1

【答案】分析：在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長(zhǎng)，在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長(zhǎng)，就可求出△PQR的周長(zhǎng)．
解答：解：延長(zhǎng)BA交QR于點(diǎn)M，連接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×=2，
則QH=HA=HG=AC=2，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2×=3，AM=HA•cos60°=，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2+3+4=7+2，
∴QP=2QR=14+4，
PR=QR•=6+7，
∴△PQR的周長(zhǎng)等于RP+QP+QR=27+13，
故答案為：27+13．
點(diǎn)評(píng)：考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，正確運(yùn)用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．