Question

已知二次函數(shù)y=x²﹣2mx+m²+3（m是常數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；

（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

（1）證明：∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（m²+3）=4m²﹣4m²﹣12=﹣12＜0，

∴方程x²﹣2mx+m²+3=0沒有實(shí)數(shù)解，

即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；

（2）解：y=x²﹣2mx+m²+3=（x﹣m）²+3，

把函數(shù)y=（x﹣m）²+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=（x﹣m）²的圖象，它的 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），

因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，把函數(shù)y=x²﹣2mx+m²+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．