Question

如圖，已知正三角形ABC的邊長為6，在△ABC中作內切圓O及三個角切圓（我們把與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓叫角切圓），則△ABC的內切圓O的面積為

 

；圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：連接OB，以及⊙O與BC的切點，在構造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得⊙O的半徑為

3

；然后作⊙O與小圓的公切線EF，易知△BEF也是等邊三角形，那么小圓的圓心也是等邊△BEF的重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和即為陰影部分的面積．

解答：解：如圖，連接OB、OD；設小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的交點為G；
過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F；
則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形；
在Rt△OBD中，BD=3，∠OBD=30°，則OD=

3

，OB=2

3

，BG=

3

；
由于⊙P是等邊△BEF的內切圓，所以點P是△BEF的內心，也是重心，
故PG=

1

3

BG=

3

3

；
∴S_⊙O=π×（

3

）²=3π，S_⊙P=π×（

3

3

）²=

1

3

π；
∴S_陰影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=9

3

-3π-π=9

3

-4π；
故△ABC的內切圓O的面積為3π，圖中陰影部分的面積為9

3

-4π．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、相切兩圓的性質以及圖形面積的計算方法，難度適中．