Question

（2013•咸寧）如圖，已知直線y=

1

3

x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．
（1）點C的坐標(biāo)是

（0，3）

線段AD的長等于

4

；
（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點C，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點坐標(biāo)以及線段AD的長；
（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（3）分別根據(jù)當(dāng)點F在點C的左邊時以及當(dāng)點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．

解答：解：（1）∵直線y=

1

3

x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴y=0時，x=-3，x=0時，y=1，
∴A點坐標(biāo)為：（-3，0），B點坐標(biāo)為：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴點C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長等于4；

（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴點M是CD的中點，
∴點M的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

）．
（說明：由CM=OM得到點M在OC在垂直平分線上，所以點M的縱坐標(biāo)為

3

2

，再求出直線CD的解析式，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)也可．）
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點C，M，
∴

c=3 1 4 + 1 2 b+c= 3 2

，
解得：

b=- 7 2 c=3

．
∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：y=x²-

7

2

x+3．

（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形．
情形1：如圖1，當(dāng)點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形．

∴∠FCE=∠PCE，
由題意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP為正方形．
過點P作PH⊥CE，垂足為H，
則Rt△CHP為等腰直角三角形．
∴CP=

2

CH=

2

PH．
設(shè)點P為（x，x²-

7

2

x+3），則OH=x²-

7

2

x+3，PH=x，
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x²-

7

2

x+3）=x，
解得：x=

5

2

∴CP=

2

CH=

5

2

×

2

=

5 2

2

，
∴菱形CFEP的周長l為：

5 2

2

×4=10

2

．
情形2：如圖2，當(dāng)點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形．

∴CF=PF，CE∥FP．
∵直線AC過點A（-3，0），點C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y=x+3．
過點C作CM⊥PF，垂足為M，
則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM．
延長PF交x軸于點N，
則PN⊥x軸，∴PF=FN-PN，
設(shè)點P為（x，x²-

7

2

x+3），則點F為（x，x+3），
∴FC=

2

x，F(xiàn)P=（x+3）-（x²-

7

2

x+3）=-x²+

9

2

x，
∴

2

x=-x²+

9

2

x，
解得：x=

9

2

-

2

，
∴FC=

2

x=

9 2

2

-2，
∴菱形CFEP的周長l為：（

9 2

2

-2）×4=18

2

-8．
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為10

2

或18

2

-8．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及菱形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．