Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A(-3,0)，B(0,1)，C(m,n)。

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)將△ABC 沿x軸的正方向平移t個(gè)單位，、兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、正好落在反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上。請(qǐng)求出t，k的值。

(3)在(2)的條件下，問(wèn)是否存x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)N，使得以、、M、N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形?如果存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（－4，3）；（2），；（3）存在，M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（－7，0），N（－3，2）

【解析】

（1）由在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先設(shè)向右平移了t個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t-4，3），由B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，即可得t=3（t-4），繼而求得m的值，則可求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADC=∠AOB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，3）；
（2）設(shè)向右平移了t個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t-4，3），

∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，
∴t=3（t-4），
解得：t=6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ；
（3）存在，如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

由平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，可知B′C′，MN的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，
即,

∴yN=4代入y=得xN=1.5，
∴N（1.5，4）；
∵,

∴xM=6.5，
∴M（6.5，0）；
如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′N(xiāo)B′的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；
綜上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成平行四邊形．